印刷压力的计算
发布时间：2024-06-21 点击：105
压印体(特别是压印体的表层)的材料性能十分复杂，印刷过程中，压印体又都处在运动状态下，使得压印面的爱劝告分析相当困难。为了对压印面的压力分布情形有个总体的认识，下面介绍两种近似的处理方法。
一、弹性体接触压力的赫芝理论
作为一种近似的处理方法，将压印体看成是理想的弹性体，则压印面的印刷压力即是弹性体接触面上的接触压力。
按弹性力学中的赫芝理论，如果有两个轴线平行的弹性圆柱体相互挤压而无摩擦，关于圆柱体接触面的形状和接触面上接触压力的分布，有如下的结论：接触面的形状有一个矩形平面，矩形的长等于弹性圆柱体的长度l，接触面的长度b按下式计算
b=2((1/π）·（（m21-1)/m21·e1+（m22-1)/m22·e2)·（ps/l）·（r1·r2/（r1+r2）））1/2 (2-6)
式中，r1、r2分别是两个圆柱体的半径，e1、e2分别是两个圆柱体的材料拉伸弹性模量，m1、m2分别是两个圆柱体的材料泊松比的倒数，pｓ是使两圆柱体挤压的径向力p1或p2的大小，参见图2-3(ａ)。
接触面(矩形abcd)上接触压力的分布呈半圆柱形，即接触压力沿矩形面的长度方向没有变化，而沿矩形面的宽度方向呈半圆形变化规律，如图2-3(b)所示。沿接触面宽度方向， 接触压力在宽度的两端为零，而在宽度的中点取得最大值pmax，如以s表示接触面的面积，s＝ｂ·l，以pcp和ps表示接触面的平均压力和总压力，则有
pcp=ps/s=ps/b·l (2-7)
由于ps等于pcp在s上的积分，而
pcp=(p2max-x2)1/2
有
ps=∫spcpds=∫b/2-b/2pcp·ldx=∫b/2-b/2(p2max-x2)1/2·ldx=(π/4)·b·l·pcp
即
pmax=4psπ·b·l=(4/π）pcp (2-8)
(2-7)式和(2-8)式中的ｂ按(2-6)式计算。
图2-3 弹性圆柱体挤压的接触面和接触压力
应该强调的是，要得到上述结论有两个重要的条件：一是两个圆柱体只在p1、p2的作用下发生挤压，因此，这里的接触压力是静压力；二是两个圆柱体都必须是理想的弹性体。即各向同性的线弹性体，弹性模量和泊松比均为确定的常数。
以圆压圆式凸版印刷机为例，压印滚筒相当于圆柱体o1，印版滚筒相当于圆柱体o2，两个滚筒合压而未运转相当于两个圆柱体在p1、p2作用下发生挤压。如果两个滚筒能够近似地看成理想的弹性体，则滚筒间的压印面即是圆柱体间的接触面，滚筒间的印刷压力即是圆柱体间的接触压力。
表层材料的材料性质，对接触压力的影响占主导地位。压印滚筒表层的变形集中于包衬，其弹性模量e1很小；印版滚筒表层的变形集中于印版，其弹性模量e2较大，即e2≥e1。但是，组成包衬的衬垫材料和印版材料的泊松比在一个数量级上，数值相差不太大，即可以近似地认为m1与m2相等，于是，对(2-6)式中的二项有
（m21-1)/m21·e1＞＞（m22-1)/m22·e2
如忽略该式中的（m22-1)/m22·e2，在压印滚筒与印版滚筒半径相等(r1＝r2＝r)的情形下，则有
b=2((1/π）·（m21-1)/m21·e1·（ps/l）·r）1/2 (2-9)
至于压印面上的压力分布，仍为半圆柱体；压印面上的平均压力pcp及最大压力pmax，仍按(2-7)式和(2-8)计算。
(2-9)式表明，在总压力ps和滚筒尺寸l和r一定的情况下，压印区的宽度ｂ(以及平均压力pcp和最大压力pmax)，主要取决于压印滚筒包衬的材料性质，即取决于它的弹性模量和泊松比。
对圆压平式印刷，只须令印版滚筒的r2趋于无穷大，改变(2-9)式得
b=2((1/π）·（m21-1)/m21·e1·（ps/l）·r1）1/2 (2-10)
二、印刷压力计算的经验方法
以圆压圆凸版印刷机为例，压印滚筒与印版滚筒合压时，产生变形的主要是压印滚筒的包衬。于是，可以近似地把压印滚筒看成是弹性体，把印版滚筒看成刚体。经验表明，压印面大致成 形，压印面上一个点(x，y)的压力pd有如下近似公式(参看图2-4)。
pd=(e·(λxy/δ))1/n(2-11)
式中，e、δ、λxy分别是包衬的弹性模量、厚度和点(x，y)的压缩变形量，ｎ是一个与包守材料性质有关的经验常数。经验表明，包衬压缩量λ在压印面上的分布规律大致是：沿宽度方向，中点最大，两端为零；沿长度方向，两端最大，中点最小。相应地，印刷压力pd在压印面上的分布，也有类似的规律，即在整个压印面上，pd的分布有如一个马鞍形，如图2-4所示。
图2-4 印刷压力的近似分布规律
如能计算出或测定出λ值，代入(2-11)，便可得到pd。但是，与压印面上各点的压力fd相比，工艺实践中更关心压印面上压力的最大值pmax，平均值pcp和总压力ps。在以后的章节中pmax简写成p。
静态下，压印面上的最大压力p，在压印面两端的中点o和o1处取得，按(2-11)式，有
pd=(e·(λ/δ))1/n(2-12)
式中λ是此处的包衬压缩变形量。
下面推导静态主印面两端沿x变化的压力px，以及在此压印宽度上的平均压力px(b)，为此，先来计算ｘ处的包衬压缩变形量λx。参看图2-5，为简单计，假定两滚筒的压缩量相等，容易推出λx为
λx=(b2/8)·(r1+r2/（r1·r2）(2-13)
及
λx=(r12-x2)1/2 +(r22-x2)1/2-d
将上式中的根式展成台劳级数，取前两项，注意到r1+r2-d＝λ，有
λx=(1-(2x/b)2)λ(2-14)
将(2-14)式代入(2-11)式，注意到(2-12)式，可以得到px。
px=(e·（λ/δ）(1-(2x/b)2)）1/n= (1-(2x/b)2)）1/n·pmax= (1-4x2/nb2)p(2-15)
上式的最后表达式是前一表达式展成级数取前两项的结果。进而容易得到pc(b)
pc(b)=(1/b)∫b/2-b/2 px·dx= (1/b)∫b/2-b/2 (1-4x2/nb2)p·dx= (1-1/3n)p(2-16)
在沿y轴的压印线上，y＝0及y＝l处，po,l＝p；在y＝l／2处，pl/2＝pmin。假定沿此压印线，压力分布呈线性规律，则容易求得任何y处的压力pymax；若进一步假定在y处的压印宽度上的压力分布规律，与y＝0或y＝l处压印宽度上压力分布规律相同，则只需以pymax取代(2-15)式中p，即可得到压印面上任一点(x，y)的压力。
图2-5 λｘ与b、λ、ｘ的几何关系
图2-6 压力p在b上的分布
沿y轴的压印线，长l上的平均压力pc(l)可取p与pmin的算术平均值，即
pc(l)=(1/2)(p+pmin)=(1/2)(1+q)pmin(2-17)
式中，q＝p／pmin是与印刷方式与印版特征有关的经验常数。pmin是压力分布马鞍形纵向对称面上的最小值，又是横向对称面上的最大值，实践证明，pmin是保证印刷顺利进行的重要参数为工艺所需印刷压力。
当pmax取值pc(l))时，由(2-16)式和(2-17)式得到压印面上的平均压力pc(s)。
pc(s)=(1/2)(1+q)(1-(1/3n))pmin(2-18)
由此不难得到压印面上的总压力pｓ和线压力pl
ps=pc(s)·b·l=(1/2)(1+q)(1-(1/3n))·b·l· pmin(2-19)
pl=p/l=(1/2)(1+q)(1-(1/3n))·b·pmin(2-20)
式中的经验常数n和q、工艺所需印刷压力pmin可查阅有关资料，n一般取0.4～0.6，q一般取1.5～2.5，pmin约在1～8×106pa之间。如取ｎ＝0.5，q＝2，则(2-19)式、(2-20)式可简化为
ps=(1/2)·b·l·pmin(2-21)
pl=(1/2)·b·pmin(2-22)
应当指出，压印面为矩形只是个近似的结果，实际的形状是两端较宽中间较窄的纺锤形；再有，以上结果都没有考虑滚筒运转中的摩擦，是静压力，如考虑到滚筒间的摩擦及弹性包衬的挤压，沿压印面宽度方向的压力分布并不对称，峰值要向滚筒拖梢方向偏移，如图2-6所示。
〔例题2-1〕已知印刷包衬的厚度δ＝2.0mm，弹性横量e＝1.62×106pa，经验常数n＝0.45，用于圆压圆式凸版印刷机中，最大压缩量λ＝0.3mm。试求压印面上的最大压力。
解 将弹性模量e换算成工程单位kgf/cm2
e=1.62×106pa×(1/9.8×104)=16.53(kgf/cm2)
由(2-12)式得
pmax=(e·(λm/δ))1/n (16.53×16.53×(0.3/2))0.45=7.23(kgf/cm2)
〔例题2-2〕某实地印版长为260mm，宽为200mm，工艺所需印刷压力pmin=4.90×106pa，包衬最大压缩量λ=0.3mm，用凸版印刷机印刷，印刷机的压印滚筒和印版滚筒半径分别为r1=180mm，r2=90mm，经验常数分别为n=0.45，q=1.70。试求压印面宽度和机器所需的总压力。
解：由(2-13)式得
b=2(2·r1·r2·λ/（r1+r2） =2×（2×（18×9/（18+9））×0.03=1.2(cm)
由(2-19)式得
ps=(1/2)(1+q)(1-(1/3n))·b·l·pmin
=(1/2)(1+1.7)×(1-(1/3×0.45))×0.012×0.26×4.9×106 =5366(n)
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一、弹性体接触压力的赫芝理论
作为一种近似的处理方法，将压印体看成是理想的弹性体，则压印面的印刷压力即是弹性体接触面上的接触压力。
按弹性力学中的赫芝理论，如果有两个轴线平行的弹性圆柱体相互挤压而无摩擦，关于圆柱体接触面的形状和接触面上接触压力的分布，有如下的结论：接触面的形状有一个矩形平面，矩形的长等于弹性圆柱体的长度l，接触面的长度b按下式计算
b=2((1/π）·（（m21-1)/m21·e1+（m22-1)/m22·e2)·（ps/l）·（r1·r2/（r1+r2）））1/2 (2-6)
式中，r1、r2分别是两个圆柱体的半径，e1、e2分别是两个圆柱体的材料拉伸弹性模量，m1、m2分别是两个圆柱体的材料泊松比的倒数，pｓ是使两圆柱体挤压的径向力p1或p2的大小，参见图2-3(ａ)。
接触面(矩形abcd)上接触压力的分布呈半圆柱形，即接触压力沿矩形面的长度方向没有变化，而沿矩形面的宽度方向呈半圆形变化规律，如图2-3(b)所示。沿接触面宽度方向， 接触压力在宽度的两端为零，而在宽度的中点取得最大值pmax，如以s表示接触面的面积，s＝ｂ·l，以pcp和ps表示接触面的平均压力和总压力，则有
pcp=ps/s=ps/b·l (2-7)
由于ps等于pcp在s上的积分，而
pcp=(p2max-x2)1/2
有
ps=∫spcpds=∫b/2-b/2pcp·ldx=∫b/2-b/2(p2max-x2)1/2·ldx=(π/4)·b·l·pcp
即
pmax=4psπ·b·l=(4/π）pcp (2-8)
(2-7)式和(2-8)式中的ｂ按(2-6)式计算。
图2-3 弹性圆柱体挤压的接触面和接触压力
应该强调的是，要得到上述结论有两个重要的条件：一是两个圆柱体只在p1、p2的作用下发生挤压，因此，这里的接触压力是静压力；二是两个圆柱体都必须是理想的弹性体。即各向同性的线弹性体，弹性模量和泊松比均为确定的常数。
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表层材料的材料性质，对接触压力的影响占主导地位。压印滚筒表层的变形集中于包衬，其弹性模量e1很小；印版滚筒表层的变形集中于印版，其弹性模量e2较大，即e2≥e1。但是，组成包衬的衬垫材料和印版材料的泊松比在一个数量级上，数值相差不太大，即可以近似地认为m1与m2相等，于是，对(2-6)式中的二项有
（m21-1)/m21·e1＞＞（m22-1)/m22·e2
如忽略该式中的（m22-1)/m22·e2，在压印滚筒与印版滚筒半径相等(r1＝r2＝r)的情形下，则有
b=2((1/π）·（m21-1)/m21·e1·（ps/l）·r）1/2 (2-9)
至于压印面上的压力分布，仍为半圆柱体；压印面上的平均压力pcp及最大压力pmax，仍按(2-7)式和(2-8)计算。
(2-9)式表明，在总压力ps和滚筒尺寸l和r一定的情况下，压印区的宽度ｂ(以及平均压力pcp和最大压力pmax)，主要取决于压印滚筒包衬的材料性质，即取决于它的弹性模量和泊松比。
对圆压平式印刷，只须令印版滚筒的r2趋于无穷大，改变(2-9)式得
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二、印刷压力计算的经验方法
以圆压圆凸版印刷机为例，压印滚筒与印版滚筒合压时，产生变形的主要是压印滚筒的包衬。于是，可以近似地把压印滚筒看成是弹性体，把印版滚筒看成刚体。经验表明，压印面大致成 形，压印面上一个点(x，y)的压力pd有如下近似公式(参看图2-4)。
pd=(e·(λxy/δ))1/n(2-11)
式中，e、δ、λxy分别是包衬的弹性模量、厚度和点(x，y)的压缩变形量，ｎ是一个与包守材料性质有关的经验常数。经验表明，包衬压缩量λ在压印面上的分布规律大致是：沿宽度方向，中点最大，两端为零；沿长度方向，两端最大，中点最小。相应地，印刷压力pd在压印面上的分布，也有类似的规律，即在整个压印面上，pd的分布有如一个马鞍形，如图2-4所示。
图2-4 印刷压力的近似分布规律
如能计算出或测定出λ值，代入(2-11)，便可得到pd。但是，与压印面上各点的压力fd相比，工艺实践中更关心压印面上压力的最大值pmax，平均值pcp和总压力ps。在以后的章节中pmax简写成p。
静态下，压印面上的最大压力p，在压印面两端的中点o和o1处取得，按(2-11)式，有
pd=(e·(λ/δ))1/n(2-12)
式中λ是此处的包衬压缩变形量。
下面推导静态主印面两端沿x变化的压力px，以及在此压印宽度上的平均压力px(b)，为此，先来计算ｘ处的包衬压缩变形量λx。参看图2-5，为简单计，假定两滚筒的压缩量相等，容易推出λx为
λx=(b2/8)·(r1+r2/（r1·r2）(2-13)
及
λx=(r12-x2)1/2 +(r22-x2)1/2-d
将上式中的根式展成台劳级数，取前两项，注意到r1+r2-d＝λ，有
λx=(1-(2x/b)2)λ(2-14)
将(2-14)式代入(2-11)式，注意到(2-12)式，可以得到px。
px=(e·（λ/δ）(1-(2x/b)2)）1/n= (1-(2x/b)2)）1/n·pmax= (1-4x2/nb2)p(2-15)
上式的最后表达式是前一表达式展成级数取前两项的结果。进而容易得到pc(b)
pc(b)=(1/b)∫b/2-b/2 px·dx= (1/b)∫b/2-b/2 (1-4x2/nb2)p·dx= (1-1/3n)p(2-16)
在沿y轴的压印线上，y＝0及y＝l处，po,l＝p；在y＝l／2处，pl/2＝pmin。假定沿此压印线，压力分布呈线性规律，则容易求得任何y处的压力pymax；若进一步假定在y处的压印宽度上的压力分布规律，与y＝0或y＝l处压印宽度上压力分布规律相同，则只需以pymax取代(2-15)式中p，即可得到压印面上任一点(x，y)的压力。
图2-5 λｘ与b、λ、ｘ的几何关系
图2-6 压力p在b上的分布
沿y轴的压印线，长l上的平均压力pc(l)可取p与pmin的算术平均值，即
pc(l)=(1/2)(p+pmin)=(1/2)(1+q)pmin(2-17)
式中，q＝p／pmin是与印刷方式与印版特征有关的经验常数。pmin是压力分布马鞍形纵向对称面上的最小值，又是横向对称面上的最大值，实践证明，pmin是保证印刷顺利进行的重要参数为工艺所需印刷压力。
当pmax取值pc(l))时，由(2-16)式和(2-17)式得到压印面上的平均压力pc(s)。
pc(s)=(1/2)(1+q)(1-(1/3n))pmin(2-18)
由此不难得到压印面上的总压力pｓ和线压力pl
ps=pc(s)·b·l=(1/2)(1+q)(1-(1/3n))·b·l· pmin(2-19)
pl=p/l=(1/2)(1+q)(1-(1/3n))·b·pmin(2-20)
式中的经验常数n和q、工艺所需印刷压力pmin可查阅有关资料，n一般取0.4～0.6，q一般取1.5～2.5，pmin约在1～8×106pa之间。如取ｎ＝0.5，q＝2，则(2-19)式、(2-20)式可简化为
ps=(1/2)·b·l·pmin(2-21)
pl=(1/2)·b·pmin(2-22)
应当指出，压印面为矩形只是个近似的结果，实际的形状是两端较宽中间较窄的纺锤形；再有，以上结果都没有考虑滚筒运转中的摩擦，是静压力，如考虑到滚筒间的摩擦及弹性包衬的挤压，沿压印面宽度方向的压力分布并不对称，峰值要向滚筒拖梢方向偏移，如图2-6所示。
〔例题2-1〕已知印刷包衬的厚度δ＝2.0mm，弹性横量e＝1.62×106pa，经验常数n＝0.45，用于圆压圆式凸版印刷机中，最大压缩量λ＝0.3mm。试求压印面上的最大压力。
解 将弹性模量e换算成工程单位kgf/cm2
e=1.62×106pa×(1/9.8×104)=16.53(kgf/cm2)
由(2-12)式得
pmax=(e·(λm/δ))1/n (16.53×16.53×(0.3/2))0.45=7.23(kgf/cm2)
〔例题2-2〕某实地印版长为260mm，宽为200mm，工艺所需印刷压力pmin=4.90×106pa，包衬最大压缩量λ=0.3mm，用凸版印刷机印刷，印刷机的压印滚筒和印版滚筒半径分别为r1=180mm，r2=90mm，经验常数分别为n=0.45，q=1.70。试求压印面宽度和机器所需的总压力。
解：由(2-13)式得
b=2(2·r1·r2·λ/（r1+r2） =2×（2×（18×9/（18+9））×0.03=1.2(cm)
由(2-19)式得
ps=(1/2)(1+q)(1-(1/3n))·b·l·pmin
=(1/2)(1+1.7)×(1-(1/3×0.45))×0.012×0.26×4.9×106 =5366(n)
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